数列において,その一般項からは極限が求めにくい場合,あるいは極限が見えていてもそれを説明しにくい場合がある.このような場合を説明する際に使えるのが今回学ぶ「はさみうちの原理」になります.
はさみうちの原理
ある番号から先で$a_{n}<x_{n}<b_{n}$がつねに成立し,しかも
$$\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}b_{n}=\alpha\ (\alphaは実数)$$
であるとき,
$$\lim_{n\to\infty}x_{n}=\alpha$$
（例題）$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sin \frac{n\pi}{2}$を求めよ.
(考え方）$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}\sin \frac{n\pi}{2}とおく.$
$\displaystyle\sin \frac{n\pi}{2}の部分は0,\pm1の値を繰り返すだけで,\frac{1}{n}\rightarrow0\ (n\rightarrow\infty)$なので,
$$\lim_{n\to\infty}a_{n}=0$$
であることは予想できる.
(解答)$\forall n\in\mathbb{N}に対して$
$$\displaystyle-\frac{1}{n}\leqq\frac{1}{n}\sin \frac{n\pi}{2}\leqq\frac{1}{n}$$
であり,
$$\lim_{n\to\infty}(-\frac{1}{n})=0,\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n})=0$$
$\therefore\ はさみうちの原理より$
$$\lim_{n\to\infty}a_{n}=0$$
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