歴史的背景
16世紀のイタリアで、数学者たちが高次方程式の解法を競い合っていました。
- ジェロラモ・カルダノ（1501-1576）: 3次方程式の解法を発見
- ルドヴィコ・フェラーリ（1522-1565）: カルダノの弟子で4次方程式の解法を発見
- シピオーネ・デル・フェッロ（1465-1526）: 3次方程式の特殊な形の解法を最初に発見
カルダノの公式（3次方程式の解法）
基本的な考え方
3次方程式 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) を解く方法です。
ステップ1: 標準形への変換
まず、\(x = y + α\) という置換を使って、\(x^2\) の項を消去し、次の標準形にします：
$$x^3 + px + q = 0$$
ステップ2: カルダノの置換
\(x = u + v\) と置いて、以下の連立方程式を作ります：
- \(u^3 + v^3 + q = 0\)
- \(3uv + p = 0\)（つまり \(uv = -\frac{p}{3}\)）
ステップ3: 解の公式
この連立方程式を解くと：
$$u^3 = \frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}$$
$$v^3 = \frac{-q – \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}$$
$$v^3 = \frac{-q – \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}$$
したがって：
$$x = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-q – \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}$$
3つの解を求める方法
3次方程式には3つの解があります。複素数の1の3乗根 \(\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\) を使って：
$$x_k = \omega^k \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}} + \omega^{3-k} \sqrt[3]{\frac{-q – \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}$$
ここで \(k = 0, 1, 2\) とします。
フェラーリの公式（4次方程式の解法）
基本的な考え方
4次方程式 \(x^4 + px^2 + qx + r = 0\) を解く方法です。
ステップ1: 完全平方式を作る
\(x^4 + px^2\) に \(t^2 + 2tx^2\) を加えて：
$$(x^2 + t)^2 = (2t – p)x^2 – qx + (t^2 – r)$$
ステップ2: 右辺を完全平方式にする
右辺が完全平方式になるように \(t\) を選びます。判別式が0になる条件から：
$$8t^3 – 4pt^2 – 8rt + 4pr – q^2 = 0$$
これは3次方程式なので、カルダノの公式で解けます！
ステップ3: 2次方程式に帰着
\(t\) が決まると、元の4次方程式は2つの2次方程式に分解できます：
$$(x^2 + u) = \pm\sqrt{2u – p}\left(x – \frac{q}{2(2u – p)}\right)$$
これで4つの解が求められます。
まとめ
- カルダノの公式: 3次方程式を巧妙な置換で解く
- フェラーリの公式: 4次方程式をカルダノの公式を使って3次方程式に帰着させる
これらの公式は、方程式論の発展において重要な役割を果たしました。5次以上の方程式については、一般的な解の公式が存在しないことが後に証明されています（アーベル-ガロア理論）。
注意: 実際の計算では複雑になることが多いため、数値解法やコンピューターを使うことが一般的です。
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