🔥 数学史を変えた28歳の天才オイラーの大発見
1735年12月5日 – サンクトペテルブルク科学アカデミーで発表された歴史的論文
エネストレームナンバー: E41
当時28歳のレオンハルト・オイラーによる「逆数の級数の和について」
エネストレームナンバー: E41
当時28歳のレオンハルト・オイラーによる「逆数の級数の和について」
§1 序論 – 長年の難問
オイラーが挑んだのは、こんな級数の和を求める問題でした：
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + … = ?
1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + … = ?
1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + … = ?
「これまで多くの数学者がこの種の級数について考察してきたが、誰も便利な形で表現することができなかった。私もまた、様々な方法を試みたが、近似値を得るか、高度に超越的な曲線の求積に帰着させることしかできなかった。」
ポイント： ライプニッツやベルヌーイ兄弟など、当時の一流数学者たちが長年挑んでも解けなかった難問でした。
§2 驚愕の発見
🎯 オイラーの大発見！
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π²/6
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π²/6
「私は最近、全く予期せずに、この級数の和のエレガントな表現を発見した。それは円の求積に依存するものである。」
実際に数値で確かめてみると：
§3-§5 解法のアイデア
🔧 オイラーの戦略
オイラーは三角関数のテイラー級数を利用しました：
sin(x) = x – x³/6 + x⁵/120 – x⁷/5040 + …
革命的アイデア：
通常：弧の長さ → サインの値
オイラー：サインの値 → 弧の長さ（逆方向！）
通常：弧の長さ → サインの値
オイラー：サインの値 → 弧の長さ（逆方向！）
同じサインを持つ弧は無限にあるので、この方程式は無限次方程式になります。
§6-§7 無限次方程式の因数分解
🎲 同じサインを持つ弧たち
サインがyとなる弧は：A, p-A, -p-A, 2p+A, -2p+A, …
（pは半円周）
因数分解のテクニック：
無限次方程式を無限個の1次因数の積として表現
↓
係数を比較して級数の和を導出
無限次方程式を無限個の1次因数の積として表現
↓
係数を比較して級数の和を導出
§8-§9 一般公式の導出
任意の級数 a + b + c + d + … について：
2乗の和 = (1項の和)² – 2×(2項の積の和)
3乗の和 = (1項の和)³ – 3×(1項の和)×(2項の積の和) + 3×(3項の積の和)
3乗の和 = (1項の和)³ – 3×(1項の和)×(2項の積の和) + 3×(3項の積の和)
この公式を使って、高次の冪の和も計算できるようになります。
§10 ライプニッツ級数の再発見
🔍 検証タイム！
y = 1（90度のサイン）の場合を計算すると…
y = 1（90度のサイン）の場合を計算すると…
1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – … = π/4
これは有名な「ライプニッツ級数」！
既知の結果と一致 → オイラーの方法が正しい証拠
既知の結果と一致 → オイラーの方法が正しい証拠
§11 メインディッシュ – バーゼル問題の解決
🏆 歴史的瞬間
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + … = π²/6
これが「バーゼル問題」の解！
80年以上未解決だった問題を、28歳のオイラーが解決しました。
80年以上未解決だった問題を、28歳のオイラーが解決しました。
§12-§13 さらなる発見
同じ方法で次々と新しい結果が！
1 + 1/2⁴ + 1/3⁴ + 1/4⁴ + … = π⁴/90
1 + 1/2⁶ + 1/3⁶ + 1/4⁶ + … = π⁶/945
1 + 1/2⁸ + 1/3⁸ + 1/4⁸ + … = π⁸/9450
1 + 1/2⁶ + 1/3⁶ + 1/4⁶ + … = π⁶/945
1 + 1/2⁸ + 1/3⁸ + 1/4⁸ + … = π⁸/9450
重要な法則：
偶数乗のときのみ、きれいな形で和が求められる！
奇数乗は複雑になる…
偶数乗のときのみ、きれいな形で和が求められる！
奇数乗は複雑になる…
§14-§15 様々な角度での検証
🔄 他のサイン値でも試してみよう
- 45度 (sin = 1/√2): 新しいニュートン級数を発見
- 60度 (sin = √3/2): さらに別の級数を発見
すべての場合で円周率との美しい関係が成り立ちました。
§16-§18 完全な証明
y = 0（サイン = 0）の場合を詳しく分析することで、より直接的な証明を構築：
最終的な結果一覧：
• ζ(2) = π²/6
• ζ(4) = π⁴/90
• ζ(6) = π⁶/945
• ζ(8) = π⁸/9450
…
• ζ(2) = π²/6
• ζ(4) = π⁴/90
• ζ(6) = π⁶/945
• ζ(8) = π⁸/9450
…
§19 円周率の新表現
この研究により、πを表す美しい級数が多数発見されました：
π = 4(1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + …)
π = √6 × √(1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …)
π = √6 × √(1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …)
🎊 オイラーの偉業まとめ
- 80年間未解決の問題を解決
- 数論と幾何学を結びつけた
- 無限級数の新理論を確立
- 現代数学の基礎を築いた
この発見により、オイラーは一夜にしてヨーロッパ数学界の第一人者となりました！
📚 現代への影響
この論文で発見されたゼータ関数は、現在でも：
- 素数の分布理論
- 量子物理学
- 暗号理論
など、様々な分野で重要な役割を果たしています。
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