未分類新井康仁

オイラーによる複素数の発見：ライプニッツとベルヌーイの論争の解決


目次

1. はじめに

この文書は、1751年にレオンハルト・オイラー（Leonhard Euler）によって書かれた論文「De la controverse entre Mrs. Leibnitz et Bernoulli sur les logarithmes des nombres négatifs et imaginaires（ライプニッツとベルヌーイの負数と虚数の対数に関する論争について）」の内容を解説します。

18世紀の数学界において、負数と複素数の対数をどのように定義すべきかという問題は、著名な数学者たちの間で激しい論争を引き起こしました。この論争は数学の基礎概念に関わる重要な問題でした。

2. 論争の背景

対数の理論は当時すでに確立されていましたが、負数や複素数（当時は「虚数」と呼ばれていた）の対数については明確な定義がありませんでした。この問題について、ゴットフリート・ライプニッツ（Gottfried Leibniz）とヨハン・ベルヌーイ（Johann Bernoulli）という二人の偉大な数学者が対立する見解を示しました。

3. ベルヌーイの主張

基本的な立場

ベルヌーイは以下のような主張をしました：

命題: 負数の対数は正数の対数と同じである。すなわち、

\[ \log(-a) = \log(+a) \]

根拠となる理由

理由1（微分による論証）:

\( \log(-x) \) を微分すると \( \frac{d}{dx}\log(-x) = \frac{-dx}{-x} = \frac{dx}{x} \) となり、これは \( \log(+x) \) の微分と同じである。

理由2（対数曲線の性質）:

対数曲線 \( y = \log x \) において、\( x \) 軸に対して対称な二つの分枝を考えると、両方とも同じ対数値を与えるべきである。

理由3（べき乗の性質）:

\( p^n = q \) ならば \( n\log p = \log q \) という関係から、負数についても同様の関係が成り立つべきである。

理由4（等式の一般化）:

\( (-a)^2 = a^2 \) であるから、\( 2\log(-a) = 2\log(a) \) となり、したがって \( \log(-a) = \log(a) \) である。

4. ライプニッツの反論

基本的な立場

ライプニッツは、負数と複素数の対数は虚数であると主張しました。

根拠となる理由

理由1（級数展開による論証）:

\( \log(1+x) \) の級数展開：

\[ \log(1+x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} + \cdots \]

\( x = -1 \) を代入すると：

\[ \log(0) = -1 – \frac{1}{2} – \frac{1}{3} – \frac{1}{4} – \cdots \]

この級数は収束せず、\( \log(-1) \neq 0 \) であることを示している。

理由2（指数関数との関係）:

もし \( y = \log x \) なら \( x = e^y \) である。\( e^J \)（\( J \) は実数）が負数になることはないため、負数の対数は実数ではあり得ない。

理由3（一般的な級数の性質）:

一般に \( e^y \) の級数展開：

\[ e^y = 1 + \frac{y}{1} + \frac{y^2}{1 \cdot 2} + \frac{y^3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \cdots \]

この級数は常に正の値を持つため、\( y \) が実数なら \( e^y > 0 \) である。

5. オイラーによる困難の解決

基本定理の確立

定理: すべての数に対して、その数に対応する無限個の対数が存在する。

証明の概要

オイラーは超越対数（ハイパーボリック対数）を用いて以下のように証明しました：

\( \omega \) を無限小とすると：

  • \( \log(1+\omega) = \omega \)
  • \( \log(1+\omega)^2 = 2\omega \)
  • 一般に \( \log(1+\omega)^n = n\omega \)

\( x = (1+\omega)^n \) とし、\( n \) を無限大にすると：

\[ y = nx^{1/n} – n = l/x \]

この関係から、\( x^{1/n} \) は \( n \) が異なれば異なる値を持つことが示される。

複素数の対数の一般形

任意の複素数 \( a + bi \)（ここで \( a, b \) は実数）に対して：

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \tan\phi = \frac{b}{a} \]

とすると：

\[ \log(a + bi) = \log c + (\phi + 2k\pi)i \]

ここで \( k \) は任意の整数である。

6. 複素数の対数の一般理論

オイラーの理論によれば、対数の本質的な性質は以下の通りです：

  • 多価性: すべての数は無限個の対数を持つ
  • 周期性: 対数の値は \( 2\pi i \) の整数倍だけ異なる
  • 統一性: 実数と複素数の対数が同一の枠組みで扱える

7. 実用的な問題と解法

オイラーは理論の応用として、以下のような具体的な問題を提示しました：

問題I: 正数の対数を求める

任意の正数 \( +a \) に対して、すべての対数を求める。

解: \( A \) を \( a \) の実対数とすると：

\[ \log(+a) = A \pm 2k\pi i \]

（\( k = 0, 1, 2, 3, \ldots \)）

問題II: 負数の対数を求める

任意の負数 \( -a \) に対って、すべての対数を求める。

解:

\[ \log(-a) = A \pm (2k-1)\pi i \]

問題III: 複素数の対数を求める

任意の複素数 \( a + bi \) に対して、すべての対数を求める。

解:

\[ \log(a + bi) = C + (\phi + 2k\pi)i \]

ここで：

  • \( C = \log\sqrt{a^2 + b^2} \)
  • \( \phi = \arctan(b/a) \)

問題IV: 与えられた対数に対応する数を求める

ある対数が与えられたとき、それに対応する数を求める。

解: 対数が \( f + gi \) の形で与えられた場合：

\[ x = e^f(\cos g + i \sin g) \]

8. まとめ

オイラーの解析により、以下のことが明らかになりました：

  1. 多価性: すべての数（実数・複素数を問わず）は無限個の対数を持つ
  2. 統一理論: 実数の対数も複素数の対数も同一の枠組みで扱える
  3. 論争の解決: ベルヌーイとライプニッツの主張はいずれも部分的に正しく、完全な理論では両方の観点が必要

この研究は現代の複素解析の基礎となり、複素数の対数が多価函数であるという重要な概念を確立しました。オイラーの業績は、18世紀数学の論争に明確な解決を与えただけでなく、数学の新しい分野を開拓したという点で極めて重要です。

現代においても、複素対数の理論はフーリエ解析、複素解析、量子力学など様々な分野で重要な役割を果たしています。オイラーが確立した多価性の概念は、リーマン面の理論へと発展し、現代数学の重要な基盤となっています。

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