フェルマーの直感を検証したオイラー ――「常に成り立つ」は本当か？（E26）

フェルマーの数に疑問を投げかけたオイラー

――「成り立ちそう」に潜む落とし穴

17世紀の数学者フェルマーは、数について多くの鋭い直感的主張を残しました。その中の一つが、次の形の数に関するものです。

22n+12^{2^n}+122n+1

フェルマーは、この形の数は どんな自然数 $n$ に対しても素数になる、と考えました。
実際に確かめてみると、

• $n=0$：220+1=32^{2^0}+1=3220+1=3

• $n=1$：221+1=52^{2^1}+1=5221+1=5

• $n=2$：222+1=172^{2^2}+1=17222+1=17

• $n=3$：223+1=2572^{2^3}+1=257223+1=257

と、すべて素数になっています。
この結果を見ると、「確かに常に素数になりそうだ」と思ってしまうのも無理はありません。

オイラーの問い：「本当に 常に 成り立つのか？」

18世紀の数学者 レオンハルト・オイラー は、このフェルマーの主張に強い関心を持ちました。しかし、彼はすぐには結論を受け入れません。

オイラーが1738年に発表した論文
『Observationes de theoremate quodam Fermatiano』
（「フェルマーのある定理についての考察」）では、

• なぜこの形の数が素数になりやすいのか

• どのような場合に割り切れてしまうのか

• 規則が破れる可能性はないのか

が、具体的な計算と一般的な議論によって丁寧に調べられています。

うまくいく例は、証明ではない

論文の中でオイラーは、小さな $n$ については確かに

22n+12^{2^n}+122n+1

が素数であることを認めつつも、次の点を強調します。

いくら多くの例で成り立っていても、それだけで「常に成り立つ」とは言えない。

これは数学において非常に重要な考え方です。
「いくつか確かめたらうまくいった」という事実と、「すべての場合に正しい」という結論の間には、大きな隔たりがあります。

決定的な反例へ

この論文での考察を積み重ねた結果、オイラーは後に次の事実を示します。

225+1=232+1=4294967297=641×67004172^{2^5}+1 = 2^{32}+1 = 4294967297 = 641 \times 6700417225+1=232+1=4294967297=641×6700417

つまり、フェルマーが「常に素数になる」と考えていた数の中に、合成数が含まれていたのです。

ここで重要なのは、オイラーが単にフェルマーの誤りを暴いたのではない、という点です。
むしろ彼は、

• なぜフェルマーの直感がこれほど長く正しく見えたのか

• どの段階で、その直感が破れるのか

を理論的に理解しようとしていました。

数学は「直感」と「検証」の往復で進む

この論文は、数学の進み方そのものをよく表しています。

• フェルマー：大胆な直感を提示する

• オイラー：それを疑い、計算し、一般化し、限界を見極める

直感だけでも、計算だけでも、数学は前に進みません。
両者の往復によって、初めて「確かな知識」へと変わっていきます。

この短い論文は、
「当たっていそう」から「本当に正しい」へ進むために、数学者が何を考えるのか
を教えてくれる、格好の一例と言えるでしょう。