フェルマーの主張を「証明」したオイラー ――素数と平方数の和を結ぶ決定的論文（E241)

18世紀の数学者 レオンハルト・オイラー は、フェルマーが残した数論の主張を、体系的に検証し、証明へと導いた人物です。

1760年に発表された論文『Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum』（「形が $4n+1$ の素数はすべて二つの平方数の和で表される、というフェルマーの定理の証明」）は、その代表例です。

フェルマーの主張とは何か

フェルマーは、次のような主張をしていました。

$4n+1$ の形をした素数は、必ず $a^2 + b^2$ の形で表せる。

たとえば $5 = 1^2 + 2^2$、$13 = 2^2 + 3^2$、$17 = 1^2 + 4^2$ などがその例です。

しかしフェルマーは、この主張の証明を残していませんでした。

オイラーの仕事：「例」から「必然性」へ

オイラーのこの論文の目的は明確です。

なぜ $4n+1$ 型の素数だけが二つの平方数の和になるのかを、一般に説明すること。

論文では、

• 素数の形：$p \equiv 1 \pmod{4}$ または $p \equiv 3 \pmod{4}$
• 平方数の和：$a^2 + b^2$
• 割り切れ方や積の構造

を組み合わせながら、「たまたまそう見える」のではなく必ずそうならざるを得ない理由を段階的に示していきます。

準備論文とのつながり

この論文は、オイラーがそれ以前に書いた

• 「平方数の和として表される数」
• 「積をとっても平方数の和の形が保たれる」

といった結果を、一つの定理として完成させたものです。

特に重要なのが、次の事実です。

もし

$$p = a^2 + b^2, \quad q = c^2 + d^2$$

と書けるなら、

$$pq = (ac – bd)^2 + (ad + bc)^2$$

と再び平方数の和で表せる。

この性質があるからこそ、素数の段階で分かったことを、より大きな数へと押し広げることができます。

なぜこの論文が重要なのか

この論文の意義は、単に「フェルマーの主張を証明した」ことではありません。

• 素数を 形で分類する 視点
• 和と積に対する性質の保存
• 後の代数的整数論につながる考え方

が、明確な形で現れています。

数学が 直感 → 検証 → 一般理論 へと進んでいく過程を、これほどはっきり示す論文は多くありません。

数学史的に見ると

フェルマーが示した「美しい予想」は、オイラーによって「証明された定理」へと変わりました。

この論文は、

数学において「正しそうだ」と「正しい」は別物である

ということを、静かに、しかし決定的に教えてくれます。