相加平均と相乗平均の大小関係について

相加平均とは足し算の平均で、相乗平均とは掛け算の平均のことです.

$\displaystyle 例えば,２つの数a,bに対して,\frac{a+b}{2}が相加平均, \sqrt{ab}が相乗平均です.$

$相加平均と相乗平均の大小関係は以下の関係が成り立ちます．$

$a>0,b>0のとき\displaystyle  \frac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}　 等号が成り立つのは,a=bのとき$

$(証明)a+b\geqq2\sqrt{ab}を示します.$

$(左辺)-(右辺)=(a+b)-2\sqrt{ab}$

$   =(\sqrt{a})^2-2\sqrt{ab}+(\sqrt{b})^2  (\because a>0,b>0)$

$  =(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geqq0$

相加平均と相乗平均の関係はいつ・どのように使うのか？

$まず，相加平均と相乗平均は□+△\geqq\sqrt{□△}の形で用いて，$

□>0,△>0で□△=定数になる問題で使うことが多いです.