三角関数の２倍角の公式

今回は三角関数の以下の２倍角の公式について見ていきます。

$\sin 2 α = 2 \sin α \cos α \dots ①$

$\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α \dots ②$

$= 2 \cos^{2} α - 1 \dots ③$

$= 1 - 2 \sin^{2} α \dots ④$

$\tan 2 α = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α} \dots ⑤$

⑤のタンジェントの２倍角は重要度はそこまで高くないので、まずは①～④まで導出できるようにしよう.それでは,以下の加法定理から２倍角の公式を作っていこう．

$\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β$

$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$

$① について : \sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β において β = α とおくと,$

$\sin (α + α) = \sin α \cos α + \cos α \sin α$

$∴ \sin 2 α = 2 \sin α \cos α \dots ① が導けた！$

$② について : \cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β において β = α とおくと,$

$\cos (α + α) = \cos α \cos α - \sin α \sin α$

$∴ \cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α \dots ② が導けた！$

$③ について : ② において \sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α を代入して,$

$\cos 2 α = \cos^{2} α - (1 - \cos^{2} α)$

$∴ c o s 2 α = 2 \cos^{2} α - 1 \dots ③ が導けた！$

$④ について : ② において \cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α を代入して,$

$\cos 2 α = (1 - \sin^{2} α) - \sin^{2} α$

$∴ c o s 2 α = 1 - 2 \sin^{2} α \dots ④ が導けた！$

以下は動画で見たい方向けです。

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