「観察」から数学は始まる ――オイラーが語る発見の方法（E256)

18世紀の数学者 レオンハルト・オイラー は、
膨大な数の定理を打ち立てたことで知られています。

しかし彼自身は、
最初から厳密な証明だけを追い求めていたわけではありません。

1761年に発表された論文

『Specimen de usu observationum in mathesi pura』
（「純粋数学における観察の用い方についての一試論」）は、
オイラーが数学的発見の出発点を自ら説明した、非常に珍しい論文です。

観察は「証明」ではない、しかし無意味でもない

論文の冒頭でオイラーは、はっきりと次の立場を示します。

多くの数の性質は、
まず観察によって気づかれる。
しかし観察だけでは、証明にはならない。

数表を作ったり、具体例を並べたりすると、
ある規則が見えてくることがあります。

オイラーは、そのような観察を
否定するのではなく、正しく位置づけようとします。

観察が果たす本当の役割

オイラーによれば、観察の役割は次の点にあります。

• どこに重要な性質が潜んでいるかを示す

• 無数の可能性の中から、調べるべき方向を教える

• 新しい定理の「候補」を与える

観察は、証明の代わりではありません。
しかし、

証明に至るための「入口」

として、欠かせない役割を果たすとオイラーは考えていました。

フェルマーとの違い、共通点

オイラーはこの論文の中で、
フェルマーが多くの数論的事実を
観察に基づいて予想したことにも言及します。

ただしオイラーは、

• 観察だけで満足することなく

• なぜ成り立つのかを徹底的に説明し

• 可能な限り一般的な形で証明する

という点で、明確な一線を引いています。

数学は「推測」と「証明」の往復で進む

この論文が伝えている最大のメッセージは、次の点です。

数学の発展は、
観察 → 推測 → 証明
という往復運動によって進む。

観察を軽視すれば、新しい発見は生まれにくくなり、
証明を軽視すれば、確かな知識にはなりません。

オイラーは、その両方を見据えた数学観を、
この短い論文に凝縮しています。

数学史的な意味

この論文は、

• オイラーの数論研究

• フェルマー的直感の評価

• 18世紀数学の実践的な研究スタイル

を理解するうえで、欠かせない文献です。

定理そのものではなく、
**「数学はどうやって作られるのか」**を語った点に、
この論文の特別な価値があります。