三角関数の2倍角の公式

今回は三角関数の以下の2倍角の公式について見ていきます。

$$\sin2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha\cdots①$$

$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\cdots②$$

$$                     =2\cos^2\alpha-1\cdots③$$

$$                        =1-2\sin^2\alpha\cdots④$$

$$ \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\cdots⑤$$

加法定理から導出ができるようになることを目指していきましょう。

⑤のタンジェントの2倍角は重要度はそこまで高くないので、まずは①~④まで導出できるようにしよう.それでは,以下の加法定理から2倍角の公式を作っていこう.

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

 

$①について:\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betaにおいて\beta=\alphaとおくと,$

$\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha$

$\therefore \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\cdots①が導けた!$

$②について:\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\betaにおいて\beta=\alphaとおくと,$

$\cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha$

$\therefore \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\cdots②が導けた!$

$③について:②において\sin^2\alpha=1-\cos^2\alphaを代入して,$

$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)$

$\therefore cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1\cdots③が導けた!$

$④について:②において\cos^2\alpha=1-\sin^2\alphaを代入して,$

$\cos2\alpha=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha$

$\therefore cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\cdots④が導けた!$

 

 

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