三角関数の２倍角の公式

今回は三角関数の以下の２倍角の公式について見ていきます。

$$\sin2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha\cdots①$$

$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\cdots②$$

$$ 　=2\cos^2\alpha-1\cdots③$$

$$ =1-2\sin^2\alpha\cdots④$$

$$ \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\cdots⑤$$

⑤のタンジェントの２倍角は重要度はそこまで高くないので、まずは①～④まで導出できるようにしよう.それでは,以下の加法定理から２倍角の公式を作っていこう．

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

$①について:\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betaにおいて\beta=\alphaとおくと,$

$\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha$

$\therefore \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\cdots①が導けた！$

$②について:\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\betaにおいて\beta=\alphaとおくと,$

$\cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha$

$\therefore \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\cdots②が導けた！$

$③について:②において\sin^2\alpha=1-\cos^2\alphaを代入して,$

$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)$

$\therefore cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1\cdots③が導けた！$

$④について:②において\cos^2\alpha=1-\sin^2\alphaを代入して,$

$\cos2\alpha=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha$

$\therefore cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\cdots④が導けた！$

以下は動画で見たい方向けです。

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