ユークリッドの素数定理

素数は無限に存在する

素数が無限に存在する方法は多数ありますが,今回は,紀元前の数学者であるユークリッドによる証明方法を紹介します.

証明に使うのは背理法です.

(証明)素数$p_{i}がn個(有限個)存在したとする.$

$$p_{1}, p_{2}, p_{3}, \cdots, \  p_{n}$$

ここからがユークリッドの考え方のすごいところになります.

$n個の素数をすべて掛けた数に1を加えた数を新たに考える.$

$$Q=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}\cdots p_{n}+1\cdots①$$

そうすると,$Q$は合成数素数のいずれかとなる.

(ⅰ)Qが合成数のとき

$Qはp_{1}, p_{2}, p_{3}, \cdots, \  p_{n}のいずれかで割れるはずである.$

$しかし①の右辺はQをP_{i}のいずれで割っても1余るので合成数であることに反する.$

(ⅱ)Qが素数のとき

$Qは,どの素数とも異なるため,これは素数がp_{1}, p_{2}, p_{3}, \cdots, \  p_{n}のn個しかないことに反する.$

したがって(ⅰ),(ⅱ)より素数は無限個存在する.

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