変数分離形について

$y’=f(x)g(y)$の形を変数分離形といいます.

今回はこの変数分離形の解法を学んでいきましょう.

(解）$\displaystyle y’=\frac{dy}{dx}$と書きかえて,$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$

$$g(y)\neq0のとき\displaystyle\frac{1}{g(y)}\cdot\frac{dy}{dx}=f(x)$$

$$\int \displaystyle\frac{1}{g(y)}\cdot\frac{dy}{dx} dx=\int f(x) dx$$

$$\int \displaystyle\frac{1}{g(y)}dy=\int f(x) dx$$

$\longrightarrow yとxの関係式を求める.$

【例題】$y’=2xy, y(0)=1$のとき,一般解を求めよ.

(解）$\displaystyle\frac{dy}{dx}=2xy\cdots①とおく.$

$(ⅰ)y=0は①の解である.$

$(ⅱ)y\neq0のとき\displaystyle\frac{dy}{dx}\cdot\frac{1}{y}=2x$

$$\displaystyle\int \frac{1}{y}dy=\int 2x dx$$

$$\log {|y|}=x^2+C$$

$$|y|=e^{x^2+C}$$

$$y=\pm e^{C}\cdot e^{x^2}$$

$$\therefore\ y=C’e^{x^2}\cdots②\ (C’=\pm e^{C}とおいた.)$$

$y=0は②でC’=0とすれば表せるので,改めてC’をCとおけば,求める一般解はy=Ce^{x^2}\  (C:任意定数)$