１階線形微分方程式

今回は１階線形微分方程式の解法を学びます.

$$y’+P(x)y=Q(x)\cdots①\  (Q(x)\neq0)$$

$Q(x)=0$のとき,①は同次方程式（斉次方程式）という.(下の②)

$$y’+P(x)y=0\cdots②$$

①は変数分離形ではないので,一般的には解くことが難しいので,②をまず解く.

$②について:①よりy\neq0なので,②もy\neq0として解く.$

$$\displaystyle\frac{dy}{dx}=-P(x)y$$

$$\displaystyle \int \frac{1}{y}dy=-\int P(x)dx$$

$$\log {|y|}=-\int P(x)+C_1$$

$$|y|=e^{-\int P(x) dx+C_1}$$

$$y=\pm e^{C_1} \cdot e^{-\int P(x) dx}$$

$$\therefore\   y=Ce^{-\int P(x) dx}\cdots③\  (C=\pm e^{C_1}とおいた)$$

定数変化法：任意定数$C$がある関数$u(x)$ならば解になるのではないかという考え方

$③をy=u(x)\cdot e^{-\int P(x) dx}\cdots③’とおき,これを①に代入して,$

$$\{u(x)\cdot e^{-\int P(x) dx}\}’+P(x)\int u(x)e^{-\int P(x) dx}=Q(x)$$

$$u'(x)e^{-\int P(x) dx}+u(x)e^{-\int P(x) dx}\{-P(x)\}+P(x)\cdot u(x)\cdot e^{-\int P(x) dx}=Q(x)$$

$$u'(x)e^{-\int P(x) dx}=Q(x)$$

$$\displaystyle \frac{du}{dx}=Q(x)e^{\int P(x) dx}$$

$$\therefore\  u(x)=\int Q(x)e^{\int P(x) dx}dx+C\cdots④$$

④を③に代入して,

$$y=e^{-\int P(x) dx}\{ Q(x)e^{\int P(x) dx}dx+C\}$$

【例題】$y’-2y=e^{x}\cdots①$の一般解を求めよ.

（解）まず,同伴方程式$y’-2y=0の解を求めるとy=Ce^{2x}\cdots②$

$ここで②の定数Cをu(x)と置き換える.y=u(x)\cdot e^{2x}\cdots③$

$③を①に代入して整理すると,\displaystyle \frac{du}{dx}=e^{-x}$

$$\int du=e^{-x} \ \therefore\ u=-e^{-x}+C$$

$$\therefore\  y=(-e^{-x}+C)e^{2x}$$

$$\therefore\ y=Ce^{2x}-e^{x}$$