1階線形微分方程式の応用

今回は,１階線形微分方程式の応用でベルヌーイの微分方程式を学びます.

ベルヌーイの微分方程式は以下のものです.

$$y’+P(x)y=Q(x)y^{n}\cdots①\  (nは0と1以外の整数)$$

まず,右辺の$y^n$を消去する.

$$y’y^{-n}+P(x)y^{-n+1}=Q(x)\cdots②$$

$$u=y^{-n+1}\cdots③とおくと,u’=(-n+1)y^{-n}\cdot y’\cdots④$$

$②\times(-n+1)より$

$$(-n+1)y’\cdot y^{-n}+(-n+1)P(x)y^{-n+1}=(-n+1)Q(x)\cdots⑤$$

$ここで,P_{0}(x)=(-n+1)P(x),\   (-n+1)Q(x)=Q_{0}(x)とおくと,③,④から⑤は$

$$u’+P_{0}(x)u=Q_{0}(x)$$

解の公式から,

$$u=e^{-{\int P_{0}(x) dx} }\{ \int Q_{0}(x)e^{\int P_{0}(x)dx} dx +C\}$$