１階線形微分方程式

今回は１階線形微分方程式の解法を学びます.

$$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)\cdots \mathrm{①}(Q(x)\ne 0)$$

$Q(x)=0$のとき,①は同次方程式（斉次方程式）という.(下の②)

$$y^{\prime }+P(x)y=0\cdots \mathrm{②}$$

①は変数分離形ではないので,一般的には解くことが難しいので,②をまず解く.

$\mathrm{②}\mathrm{に}\mathrm{つ}\mathrm{い}\mathrm{て}:\mathrm{①}\mathrm{よ}\mathrm{り}y\ne 0\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で},\mathrm{②}\mathrm{も}y\ne 0\mathrm{と}\mathrm{し}\mathrm{て}\mathrm{解}\mathrm{く}.$

$${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-P(x)y}$$

$${\displaystyle \int \frac{1}{y}dy=-\int P(x)dx}$$

$$\log |y|=-\int P(x)+C_1$$

$$|y|=e^{-\int P(x)dx+C_1}$$

$$y=\pm e^{C_1}\cdot e^{-\int P(x)dx}$$

$$\therefore y=C{e}^{-\int P(x)dx}\cdots \mathrm{③}(C=\pm e^{C_1}\mathrm{と}\mathrm{お}\mathrm{い}\mathrm{た})$$

定数変化法：任意定数$C$がある関数$u(x)$ならば解になるのではないかという考え方

$\mathrm{③}\mathrm{を}y=u(x)\cdot e^{-\int P(x)dx}\cdots {\mathrm{③}}^{\prime }\mathrm{と}\mathrm{お}\mathrm{き},\mathrm{こ}\mathrm{れ}\mathrm{を}\mathrm{①}\mathrm{に}\mathrm{代}\mathrm{入}\mathrm{し}\mathrm{て},$

$$\{u(x)\cdot e^{-\int P(x)dx}{\}}^{\prime }+P(x)\int u(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$$

$$u^{\prime }(x)e^{-\int P(x)dx}+u(x)e^{-\int P(x)dx}\{-P(x)\}+P(x)\cdot u(x)\cdot e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$$

$$u^{\prime }(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$$

$${\displaystyle \frac{du}{dx}=Q(x)e^{\int P(x)dx}}$$

$$\therefore u(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\cdots \mathrm{④}$$

④を③に代入して,

$$y=e^{-\int P(x)dx}\{Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\}$$

【例題】$y^{\prime }-2y=e^x\cdots \mathrm{①}$の一般解を求めよ.

（解）まず,同伴方程式$y^{\prime }-2y=0\mathrm{の}\mathrm{解}\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{る}\mathrm{と}y=C{e}^{2x}\cdots \mathrm{②}$

$\mathrm{こ}\mathrm{こ}\mathrm{で}\mathrm{②}\mathrm{の}\mathrm{定}\mathrm{数}C\mathrm{を}u(x)\mathrm{と}\mathrm{置}\mathrm{き}\mathrm{換}\mathrm{え}\mathrm{る}.y=u(x)\cdot e^{2x}\cdots \mathrm{③}$

$\mathrm{③}\mathrm{を}\mathrm{①}\mathrm{に}\mathrm{代}\mathrm{入}\mathrm{し}\mathrm{て}\mathrm{整}\mathrm{理}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と},{\displaystyle \frac{du}{dx}=e^{-x}}$

$$\int du=e^{-x}\therefore u=-e^{-x}+C$$

$$\therefore y=(-e^{-x}+C)e^{2x}$$

$$\therefore y=C{e}^{2x}-e^x$$