ユークリッドの素数定理
素数は無限に存在する 素数が無限に存在する方法は多数ありますが,今回は,紀元前の数学者であるユークリッドによる証明方法を紹介します. 証明に使うのは背理法です. (証明）素数$p_{i}がn個（有限個）存在したとする.$...
数A2021年3月
数A
合同式の応用暗号の種類
共通鍵暗号とは データの暗号化と復号化の際に同じ鍵を使う暗号方式のことで秘密鍵暗号ともいう.共通鍵は一般的に暗号の送信者が作成し,暗号分とともにまたは,別の手段を用いて受信者に送信する. 共通鍵暗号の弱点 共通鍵が盗まれ...
合同式の応用フェルマーの小定理
今回は,以下のフェルマーの小定理を学びます. $pを素数とし,a\in \mathbb{Z}でaとp$が互いに素のとき, $$a^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$$ が成り立ちます. $(証明)1, 2, ...
微分方程式1階線形微分方程式の応用
今回は,１階線形微分方程式の応用でベルヌーイの微分方程式を学びます. ベルヌーイの微分方程式は以下のものです. $$y’+P(x)y=Q(x)y^{n}\cdots①\ (nは0と1以外の整数)$$ まず,...
微分方程式１階線形微分方程式
今回は１階線形微分方程式の解法を学びます. $$y’+P(x)y=Q(x)\cdots①\ (Q(x)\neq0)$$ $Q(x)=0$のとき,①は同次方程式（斉次方程式）という.(下の②) $$yR...
微分方程式変数分離形について
$y’=f(x)g(y)$の形を変数分離形といいます. 今回はこの変数分離形の解法を学んでいきましょう. (解）$\displaystyle y’=\frac{dy}{dx}$と書きかえて,$\d...
式と証明相加平均と相乗平均の大小関係について
相加平均とは足し算の平均で、相乗平均とは掛け算の平均のことです. $\displaystyle 例えば,２つの数a,bに対して,\frac{a+b}{2}が相加平均, \sqrt{ab}が相乗平均です.$ $相加平均と相...
三角関数三角関数の２倍角の公式
今回は三角関数の以下の２倍角の公式について見ていきます。 $$\sin2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha\cdots①$$ $$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\a...
数Ⅱ積分計算における便利な公式その１
$数Ⅱの面積を求める際に便利な以下の公式を紹介します。$ $$\displaystyle \int_\alpha ^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx=-\frac{1}{6} (\beta-\al...
数Ⅰ2次方程式の解の公式
今回は2次方程式の解の公式を証明していきましょう。 証明のポイントは平方完成です． $ax^2+bx+c=0 (a \neq 0) をaで割って,$ $$\displaystyle x^2+\frac{b}{a}+\fr...
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