【リーマン予想】未解決問題を解くと大金獲得!?難問への挑戦

「リーマン予想」(Riemann hypothesis)は未解決問題の中でも最難関で、NHKでも取り上げられたことがある予想です。

160年かけて多くの数学者が挑み、挫折してきました。

数学界では、その難しさと、解いた人には100万ドル(約1億円)が渡されることで有名です。

今回は「リーマン予想」基礎知識編として、「リーマン予想」とは何か・これまでの数学者のアプローチを紹介します。

素数の奥深さと数学界の歴史を学び、いつか来る「リーマン予想」証明の日を待ちましょう。

「リーマン予想」とは

「リーマン予想」は1859年にドイツの数学者ベルンハルト・リーマン( Bernhard Riemann)が提唱しました。

論文『与えられた数より小さい素数の個数について』の中で「素数の規則をつかめるのではないか」と立てた予想です。

素数とは1とそれ自身でしか割り切れない数です。

2、3、5、7、11、13、17、19・・・と永遠に続きます。

すべての数は素数で表すことができ、自然・宇宙にも深く関わっていると言われています。

1から順に整数を並べた時、素数が大きくなるにつれて数直線上で間隔がまばらになっていき、素数と素数の間隔が広がっていきます。

リーマンは素数の場所が分かる「式」を作り上げようとしましたが、結局は完成しませんでした。

素数に関しては謎が多く、当時の数学者もお手上げでした。

1900年、ヒルベルト(Hilbert)は数学上の未解決の問題23題(ヒルベルトの23の問題)を提起し、「リーマン予想」が含まれています。

「リーマン予想」証明への取り組み

「リーマン予想」を証明しようと、さまざまな数学者が挑みました。

その中で注目したいのが「ゼータ関数論」です。

リーマンの考えた「リーマンゼータ関数」は言わば「リーマン予想」の中心人物です。

人の中身を知りたい場合、ただ1人を観察するだけでは限界があります。

そんな時は関連のある家族・友人・会社の同僚なども見ることで、人となりが分かってきます。

数学者達は数字にも関連性を持たせ、そこからなにかヒントを得ようと考え出しました。

「3と5」・「5と7」・「11と13」など、ある偶数を挟んで並んで存在する(=差が2)

素数のペアを「双子素数」(twin prime)と呼びます。

同様に差が4の素数(「3と7」「7と11」など)は「いとこ」、差が6の素数(「5と11」など)は「セクシー素数」(sexy primes)です。

(※セクシーの由来はラテン語で6を意味する単語から来ているそうです。)

そうして、「合同ゼータ関数」「セルバーグゼータ関数」などに発展していきますが、成果は出ません。

2000年には100万ドル(約1億円)の賞金を懸けました(ミレニアム懸賞問題)。

2004年にはパデュー大学の数学者ルイス・デ・ブランジェス・デ・ボルシア教授が「リーマン予想」を証明したと宣言しましたが、後に否定されました。

「リーマン予想」は160年以上を経てもなお、解決できない難問でした。

「リーマン予想」解決か?

2018年9月24日、ドイツのハイデルベルグ受賞者フォーラムで「リーマン予想」を証明できると主張する人物が再度現れました。

彼はイギリスの数学者マイケル・アティヤ氏(Michael Atiyah)、当時89歳。

フィールズ賞やアーベル賞など受賞経験のある、世界的数学者の1人です。

幾何学・トポロジー・理論物理学に功績を残し、「アティヤ=シンガーの指数定理」や「ゲージ理論」という素粒子物理の研究をしていました。

騒ぎになった理由は「リーマン予想」の存在だけではありません。

予想の証明には数百ページと長くなりがちですが、マイケル・アティヤ氏の論文はたったの5ページでした。

これまで誰もが解けなかった超難問が、そんな短い説明で証明できるとは驚きです。

しかも、もともとは物理学の定理を導く予定で、副次的に「リーマン予想」の証明が得られたとも語っています。

「リーマン予想」を専門的に研究していたのではなかったというのです。

マイケル・アティヤ氏の発表に対して、専門家の間では懐疑的・否定的な意見が相次ぎました

論文は検証に進みましたが、マイケル・アティヤ氏は2019年1月11日89歳にて亡くなりました。

王立協会の発表によると、「著者が彼1人だったため、論文を撤回することが決まった」と述べたそうです。

つまり、2020年現在も「リーマン予想」の完全な証明はなされていません。

まとめ

数学の未解決問題「リーマン予想」について紹介しました。

「リーマン予想」は素数の秩序・ルールを解明するための大きなヒントです。

1859年にドイツの数学者ベルンハルト・リーマンが提唱してから、数学者達はその証明に躍起になりました。

素数の関係性を見出したり、100万ドル(約1億円)の賞金を懸けたり。

2018年9月24日にはマイケル・アティヤ氏が「5ページで証明した」と発表したものの、査読が終わらぬうちに、亡くなってしまいます。

2020年現在、私達は「リーマン予想」の完璧な証明には至っていません。

今後も、数学界トップレベルの難問「リーマン予想」を解く天才が現れるのを待つしかないようです。

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