「リーマン予想」(Riemann hypothesis)は未解決問題の中でも最難関で、NHKでも取り上げられたことがある予想です。
160年かけて多くの数学者が挑み、挫折してきました。
数学界では、その難しさと、解いた人には100万ドル（約1億円）が渡されることで有名です。
今回は「リーマン予想」基礎知識編として、「リーマン予想」とは何か・これまでの数学者のアプローチを紹介します。
素数の奥深さと数学界の歴史を学び、いつか来る「リーマン予想」証明の日を待ちましょう。
「リーマン予想」とは
「リーマン予想」は1859年にドイツの数学者ベルンハルト・リーマン( Bernhard Riemann)が提唱しました。
論文『与えられた数より小さい素数の個数について』の中で「素数の規則をつかめるのではないか」と立てた予想です。
素数とは1とそれ自身でしか割り切れない数です。
2、3、5、7、11、13、17、19・・・と永遠に続きます。
すべての数は素数で表すことができ、自然・宇宙にも深く関わっていると言われています。
1から順に整数を並べた時、素数が大きくなるにつれて数直線上で間隔がまばらになっていき、素数と素数の間隔が広がっていきます。
リーマンは素数の場所が分かる「式」を作り上げようとしましたが、結局は完成しませんでした。
素数に関しては謎が多く、当時の数学者もお手上げでした。
1900年、ヒルベルト(Hilbert)は数学上の未解決の問題23題（ヒルベルトの23の問題）を提起し、「リーマン予想」が含まれています。
「リーマン予想」証明への取り組み
「リーマン予想」を証明しようと、さまざまな数学者が挑みました。
その中で注目したいのが「ゼータ関数論」です。
リーマンの考えた「リーマンゼータ関数」は言わば「リーマン予想」の中心人物です。
人の中身を知りたい場合、ただ1人を観察するだけでは限界があります。
そんな時は関連のある家族・友人・会社の同僚なども見ることで、人となりが分かってきます。
数学者達は数字にも関連性を持たせ、そこからなにかヒントを得ようと考え出しました。
「3と5」・「5と7」・「11と13」など、ある偶数を挟んで並んで存在する（＝差が2）
素数のペアを「双子素数」(twin prime)と呼びます。
同様に差が4の素数（「3と7」「7と11」など）は「いとこ」、差が6の素数（「5と11」など）は「セクシー素数」(sexy primes)です。
（※セクシーの由来はラテン語で6を意味する単語から来ているそうです。）
そうして、「合同ゼータ関数」「セルバーグゼータ関数」などに発展していきますが、成果は出ません。
2000年には100万ドル（約1億円）の賞金を懸けました（ミレニアム懸賞問題）。
2004年にはパデュー大学の数学者ルイス・デ・ブランジェス・デ・ボルシア教授が「リーマン予想」を証明したと宣言しましたが、後に否定されました。
「リーマン予想」は160年以上を経てもなお、解決できない難問でした。
「リーマン予想」解決か？
2018年9月24日、ドイツのハイデルベルグ受賞者フォーラムで「リーマン予想」を証明できると主張する人物が再度現れました。
彼はイギリスの数学者マイケル・アティヤ氏(Michael Atiyah)、当時89歳。
フィールズ賞やアーベル賞など受賞経験のある、世界的数学者の1人です。
幾何学・トポロジー・理論物理学に功績を残し、「アティヤ＝シンガーの指数定理」や「ゲージ理論」という素粒子物理の研究をしていました。
騒ぎになった理由は「リーマン予想」の存在だけではありません。
予想の証明には数百ページと長くなりがちですが、マイケル・アティヤ氏の論文はたったの5ページでした。
これまで誰もが解けなかった超難問が、そんな短い説明で証明できるとは驚きです。
しかも、もともとは物理学の定理を導く予定で、副次的に「リーマン予想」の証明が得られたとも語っています。
「リーマン予想」を専門的に研究していたのではなかったというのです。
マイケル・アティヤ氏の発表に対して、専門家の間では懐疑的・否定的な意見が相次ぎました。
論文は検証に進みましたが、マイケル・アティヤ氏は2019年1月11日89歳にて亡くなりました。
王立協会の発表によると、「著者が彼1人だったため、論文を撤回することが決まった」と述べたそうです。
つまり、2020年現在も「リーマン予想」の完全な証明はなされていません。
まとめ
数学の未解決問題「リーマン予想」について紹介しました。
「リーマン予想」は素数の秩序・ルールを解明するための大きなヒントです。
1859年にドイツの数学者ベルンハルト・リーマンが提唱してから、数学者達はその証明に躍起になりました。
素数の関係性を見出したり、100万ドル（約1億円）の賞金を懸けたり。
2018年9月24日にはマイケル・アティヤ氏が「5ページで証明した」と発表したものの、査読が終わらぬうちに、亡くなってしまいます。
2020年現在、私達は「リーマン予想」の完璧な証明には至っていません。
今後も、数学界トップレベルの難問「リーマン予想」を解く天才が現れるのを待つしかないようです。
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